%% main.tex --- файл-обертка для диплома

\documentclass[russian,utf8,simple,floatsection,equationsection]{eskdtext} 

\include{defs}  % вставляем содержимое служебных инструкций из defs.tex
\ESKDcolumnII{\normalsize{Описание используемых методов}}

\setcounter{section}{2}

\newcommand{\symb}{*}

\begin{document}
\section{Описание используемых методов.}
\subsection{Метод анализа иерархий (МАИ)}
\subsubsection{ Общие сведения}
СППР, основанная на методе анализа иерархий (МАИ), является простым и
удобным средством, которое поможет структурировать проблему, построить
набор альтернатив, выделить характеризующие их факторы, задать
значимость этих факторов, оценить альтернативы по каждому из
факторов, найти неточности и противоречия в суждениях ЛПР/эксперта,
проранжировать альтернативы, провести анализ решения и обосновать
полученные результаты.

СППР МАИ может использоваться при решении следующих типовых задач:
\begin{itemize}
\item оценка качества организационных, проектных и конструкторских решений;
\item определение политики инвестиций в различных областях;
\item задачи размещения (выбор места расположения вредных и опасных
  производств, пунктов обслуживания);
\item распределение ресурсов;
\item проведение анализа проблемы по методу “стоимость-эффективность”;
\item стратегическое планирование;
\item проектирование и выбор оборудования, товаров;
\item выбор профессии, места работы, подбор кадров.
\end{itemize}

Основные положения метода анализа иерархий были разработаны известным
американским математиком Т.Л.Саати и опубликованы в 1977г
\red{[7]}. Томас Саати является одним из самых ярких
представителей прикладной науки. Об этом говорят не только его
математическая эрудиция и глубина новых теоретических результатов, но
и диапазон приложений. Он был прав, предпослав к одной из своих
монографий эпиграф: <<Я люблю обе   стороны математики: чистую - как
возвышенный уход от реальности,   прикладную - как страстное
стремление к жизни>>.

МАИ используется для решения слабо структуризованных и
неструктуризованных проблем. Методология решения таких проблем
опирается на системный подход, при котором проблема рассматривается
как результат взаимодействия и, более того, взаимозависимости
множества разнородных объектов, а не просто как их изолированная и
автономная совокупность.

Человеку присущи два характерных признака аналитического мышления:
один - умение наблюдать и анализировать наблюдения, другой –
способность устанавливать отношения между наблюдениями, оценивая
уровень (интенсивность) взаимосвязей, а затем синтезировать эти
отношения в общее восприятие наблюдаемого.

На основе этих свойств человеческого мышления были сформулированы три
принципа,  реализация которых и является содержанием МАИ:
\begin{itemize}
\item принцип идентичности и декомпозиции;
\item принцип дискриминации и сравнительных суждений;
\item принцип синтеза.
\end{itemize}
\subsubsection{Принцип идентичности и декомпозиции}
Реализация этого принципа осуществляется на первом этапе применения
МАИ, в котором предусматривается структурирование проблемы в виде
иерархии. Иерархия строится с вершины - это общая цель или фокус
проблемы. В общем случае целей может быть несколько. За фокусом
следует уровень наиболее важных критериев. Каждый из критериев может
разделяться на субкритерии, за которыми следует уровень
альтернатив. ЛПР при построении иерархии вынужден вникнуть в
проблему. От этого этапа во многом зависят конечные результаты
принятия решений. Формирование множества альтернатив и критериев
осуществляется с учетом рекомендаций. Этап является неформализуемым.

\textbf{Пример.} При обсуждении проблемы улучшения жилищных условий семьей была
сформулирована цель - покупка дома. Обсуждались и другие цели решения
этой проблемы (например, ремонт имеющегося жилья). Из каталога были
отобраны три наиболее предпочтительных  дома (варианты А, В, С),
которые и были осмотрены семьей непосредственно. Для выбора
окончательного варианта  она решила воспользоваться методом анализа
иерархий. Итогом первого этапа МАИ, который явился результатом
семейного обсуждения, стала следующая иерархия (рисунок \ref{img_1}):
Иерархия - есть определенный тип системы, основанный на предположении,
что элементы системы могут группироваться в несвязанные
множества. Элементы каждой группы находятся под влиянием элементов
другой группы и в свою очередь оказывают влияние на элементы следующей
руппы.

Считается, что элементы в каждой группе иерархии (называемые уровнем,
кластером, стратой) независимые. Рассмотрим общий вид иерархии
 (рисунок \ref{img_2}).

\begin{figure}[!h]
  \centering
  \includegraphics[angle=270, width=0.9\textwidth]{chapter_3_img_1}
  \caption{Иерархия проблемы улучшения жилищных условий}
  \label{img_1}
\end{figure}

\begin{figure}[!h]
  \centering
  \includegraphics[angle=270, width=0.4\textwidth]{chapter_3_img_2}
  \caption{Общий вид иерархии}
  \label{img_2}
\end{figure}

Математически иерархия и ее свойства могут быть описаны следующим
образом. На множестве объектов $I = \{1,2, \ldots ,N\}$ (рисунок
\ref{img_2}) определяется иерархическая структура путем задания
орграфа $G = (I,W)\  W \subset I \times I$
, который:
\begin{enumerate} 
\item разбивает вершины на непересекающиеся уровни:\\
  $I = U_lV_l;l = \overline{1,m};V_i \cap V_j = \O;i,j = \overline{1,m;}$
\item 
  $(i,j) \in W$ означает, что вес $Z_i$ объекта $i$ непосредственно
  зависит от веса $Z_j$ объекта $j$;
\item если $(i,j)$ - дуга графа $G$, т.е. $(i,j) \in W$, то объекты $i$
  и $j$ находятся на смежных уровнях, т.е. найдется такое $k$, что $i
  \in V_{k+1},j \in V_k$
\item веса $Z_i$ объекта $i \in V_{k+1}$ определяются через веса $Z_j$
  вершин множества $L_i = \{j|(i,j) \in W\} \subseteq V_k$, в которые ведут дуги из
  вершины $i$ с помощью феноменологически вводимой зависимости $Z_i =
  \sum_{j \in L_{i}}\Im_{ij}Z_j, i \in I \\ V_1$, где $\Im_{ij}$  - вес дуги
  $(i,j)$. Методика определения $J_{ij}$, заключается использовании
  знаний ЛПР, для заполнения $\Im_{ij}$  дуг $(i,j ) \in W$ и веса $Z$
  объектов первого уровня $(j \in V_l )$.
\end{enumerate}

\subsubsection{Принцип дискриминации и сравнительных суждений}
Данный принцип реализуется на втором этапе МАИ. Суть его заключается в
том, что, используя суждения ЛПР/эксперта и определенные алгоритмы их
обработки, устанавливаются веса $\Im_{ij}$  дуг $(i,j ) \in W$  и  веса
$Z_j$  объектов первого уровня  $(j \in V_1 )$. Если на первом уровне
один объект, то вес его принимается за 1 $( Z_1 = 1 )$.

Суждения ЛПР/эксперта являются результатом исследования его структуры
предпочтений. При этом исследовании применяется метод парных
сравнений, содержание которого состоит в следующем. Пусть задано
некоторое фиксированное множество объектов $K = \{ k_i \}, i =
\overline{1,n}, K \subset I$ , которые сравниваются попарно с точки зрения
их предпочтительности, желательности, важности и т. п. Результаты
записываются в виде матрицы парных сравнений  $R = \{ r_{ij}\}, i,j =
\overline{1,n}$.

Результат сравнения отражает не только факт, но и степень (силу,
интенсивность и т.п) превосходства. При этом используется шкала
относительной важности, выбор которой зависит от следующих требований:
\begin{itemize}
\item шкала должна давать возможность улавливать различия в ощущениях
  людей, когда они проводят сравнение;
\item диапазон измеряемой интенсивности шкалы должен соответствовать
  результатам когнитивной психологии.
\end{itemize}

Удовлетворяет этим требованиям шкала, приведенная в табл. \ref{tab_1}.

%% @todo fix перенос таблицы !!!

\begin{table}[!h]
  \caption{Шкала относительной важности}
  \label{tab_1}
  \begin{tabular}{|p{0.3\textwidth}|p{0.3\textwidth}|p{0.3\textwidth}|}
    \hline
    Количественная  оценка интенсивности
    относительной важности& 
    Качественная оценка   интенсивности о
    тносительной важности&
    Пояснения \\
    \hline
    1&
    Равная важность&
    Равный вклад двух объектов
    \\ \hline
    3&
    Умеренное превосходство одного над другим&
    Опыт и суждения дают легкое превосходство  одного объекта над другим
    \\ \hline
    7&
    Значительное превосходство&
    Один объект имеет настолько сильное
    превосходство, что оно становится п
    рактически значительным
    \\ \hline
    9&
    Очень сильное превосходство&
    Очевидность превосходства одного объ
    екта над другим  подтверждается наибо
    лее сильно
    \\ \hline
    2,4,6,8&
    Промежуточные решения между двумя соседними суждениями&
    Применяются в компромиссном случае
    \\ \hline
    Обратные величины приведенных выше чисел&
    Если объекту $i$ при сравнении с объек
    том $j$ приписывается одно из приведен
    ных выше чисел, то действию $j$ при сра
    внении с $i$ приписывается обратное зн
    ачение &
    Применяются для сравнения обратных
    значений
    \\ \hline
  \end{tabular}
\end{table}

Из шкалы следует свойство гомогенности (однородности) объектов. Это
свойство соответствует способности людей сравнивать объекты, которые
не слишком сильно отличаются друг от друга. Гомогенность существенна
для сравнения объектов одного порядка, т.к. человеческий разум склонен
к допущению больших ошибок при сравнении несопоставимых
элементов. Когда эта несопоставимость большая, объекты располагаются в
отдельные кластеры сравниваемых размеров, что выдвигает идею об
уровнях и их декомпозиции. 

\textbf{Пример.} Рассмотрим метод парных сравнений  на примере покупки дома
(рисунок \ref{img_3}).

\begin{figure}[!h]
  \centering
  \includegraphics[angle=270, width=0.4\textwidth]{chapter_3_img_1_2}
  \caption{Иллюстрация к методу парных сравнений}
  \label{img_3}
\end{figure}

Допустим необходимо оценить предпочтения ЛПР/эксперта на множестве
вариантов А,В,С относительно критерия  - размера дома. Лучше всего эту
задачу свести к заполнению табл. \ref{tab_2}.

Размерность таблицы определяется количеством дуг, которые входят в
рассматриваемую вершину. Элементы таблицы $r_{ij}, i,j =
\overline{1,3}$ являются количественной оценкой интенсивности
предпочтения  $i$-го объекта, находящегося в $i$-й строке, относительно
$j$-го объекта,  находящегося в  $j$-м столбце, в соответствии с
вышерассмотренной  шкалой. 

При этом сравнении ЛПР/эксперту задавался следующий вопрос : насколько
один вариант (например А) превосходит по размеру другой вариант
(например С)? Ответом ЛПР/эксперта, как следует из таблицы, было
следующее суждение: существенное или сильное превосходство. 

\begin{table}
  \caption{Матрица парных сравнений к рис \ref{img_3}.}  
  \label{tab_2}
  \begin{tabular}{|c|c|c|c|}
    \hline
    Размер дома& Вариант А& Вариант В& Вариант С
    \\ \hline
    Вариант А&           1&       1/3&         5
    \\ \hline
    Вариант В&           3&         1&       1/7
    \\ \hline
    Вариант С&         1/5&         7&         1
    \\ \hline
  \end{tabular}
\end{table}

Таким же образом осуществляется оценка предпочтений ЛПР/эксперта
относительно остальных критериев путем заполнения еще пяти аналогичных
матриц размерностью $3 \times 3$. После чего метод парных сравнений
распространяется на множество самих критериев относительно  цели -
покупки дома. В этом случае ЛПР/эксперту задается следующий вопрос:
насколько важнее один критерий (например, размер дома) для реализации
цели по сравнению с другим  (например, финансовые условия)? Как
следует из иерархии, размерность этой таблицы $6 \times 6$.

Принимая во внимание свойство матрицы, т.е $\forall i,j = \overline{1,n} ,
r_{ij} = \frac{1}{r_{ji}}$ и, как следствие, $r_{ii} = 1$ количество вопросов
равно $\frac{n*(n-1)}{2}$.

Формализацией понятия непротиворечивости для метода парных сравнений
является выполнение следующего равенства: 
\begin{equation}
  \label{math_1}
  r_{ij}^{\symb} = r_{ik}^{\symb} * r_{kj}^{\symb}, \quad \forall i,j,k
\end{equation}
где $r_{ij}^{\symb}$  - это элементы матрицы $R^*$, полученные в результате идеально
согласованного эксперимента.

Соотношение (\ref{math_1}) соответствует правилу логического вывода (см. п. 2.5),
которое в этом случае формулируется следующим образом: если $i$-й объект
предпочтительнее $k$-го объекта на $r_{ik}^{\symb}$ и $k$-й объект предпочтительнее $j$-го
объекта на $r_{kj}$, то $i$-й объект предпочтительней $j$-го объекта
на $r_{ij}^{\symb}$, причем $r_{ij}^{\symb} = r_{ik}^{\symb} * r_{kj}^{\symb}$.

Если матрица $R^*$ обладает свойством (\ref{math_1}), то тогда
существуют такие числа $\Im_i^{\symb} > 0$, что имеет место равенство:
\begin{equation}
  \label{math_2}
  r_{ij}^{\symb}= \frac{\Im_i^{\symb}}{\Im_j^{\symb}}, \quad
  \forall i,j = \overline{1,n}
\end{equation}

Числа $\Im_i, i= \overline{1,n}$  отождествляются с весами дуг (это
множество $W$ в графе $G$) либо с весами объектов первого уровня (это
$Z_i, i \in V_1$). 

Матрица $R^*$ имеет единичный ранг, $\{\Im_i^{\symb}\}, i = \overline{1,n}$ -
собственный вектор матрицы, где $n$ - соответствующее ей собственное число. 

\newcommand{\JJ}[2]{\frac{\Im_{#1}^{\symb}}{\Im_{#2}^{\symb}}}
\newcommand{\J}[1]{\Im_{#1}^{\symb}}
\newcommand{\Jn}[1]{n\Im_{#1}^{\symb}}

Действительно,
\begin{equation}
  \label{math_3}
  \left(
  \begin{array}{cccc}
    \JJ{1}{1} & \JJ{1}{2} & \ldots & \JJ{1}{n} \\
    \JJ{2}{1} & \JJ{2}{2} & \ldots & \JJ{2}{n} \\
    \ldots    & \ldots    & \ldots & \ldots    \\   
    \JJ{n}{1} & \JJ{n}{2} & \ldots & \JJ{n}{n}
  \end{array}
  \right) * 
  \left(
  \begin{array}{c}
    \J{1} \\ \J{2} \\ \ldots \\ \J{n}
  \end{array}
  \right) = 
  \left(
  \begin{array}{c}
    \Jn{1} \\ \Jn{2} \\ \ldots \\ \Jn{n}
  \end{array}
  \right) = n *
  \left(
  \begin{array}{c}
    \J{1} \\ \J{2} \\ \ldots \\ \J{n}
  \end{array}
  \right)
  \text{или } R^{\symb} \overline{\Im^{\symb}} = n \overline{\Im^{\symb}}
\end{equation}

Практически добиться полной согласованности (т.е. непротиворечивости)
суждений ЛПР/эксперта далеко не всегда возможно.

Поэтому в общем случае $r_{ij}$ будут отклоняться от “идеальных”
$r_{ij}^{\symb} = \JJ{i}{j}$ , вследствие чего соотношения \ref{math_1},
\ref{math_2}, \ref{math_3} не будут иметь место. 

Для дальнейшего анализа полезными являются следующие два факта из
теории матриц:

\emph{Во-первых}если $\lambda_1, \ldots, \lambda_n$ являются
собственными числами матрицы $R$ и если $r_{ii} = 1, i =
\overline{1,n}$, то $\sum_{i = 1}^{n} \lambda_i = n$. Согласно этому
утверждению, если имеет место (\ref{math_3}) (т.е. матрица является
идеально согласованной), то все собственные числа ее - нули, за
исключением одного, равного $n$.

\emph{Во-вторых}, если элемент положительной обратносимметричной
матрицы $R$ незначительно изменить, то собственные числа этой матрицы
также изменятся незначительно, т.е. они являются непрерывными
функциями ее элементов.

Объединяя эти результаты, находим, что при малых изменениях $r_{ij}$
от $r_{ij}^{\symb}$  наибольшее собственное число $\lambda_{max}$
(практически получаемой матрицы $R$ при использовании метода парных
сравнений) остается близким к n, а остальные собственные значения -
близкими к нулю. 

Отсюда можно сформулировать следующую задачу: для нахождения весов дуг
или объектов первого уровня по полученной в результате метода парных
сравнений матрице $R$ необходимо определить собственный вектор
$\overline{J}$, соответствующий максимальному собственному числу,
т.е. решить уравнение:
\begin{equation}
  \label{math_4}
  R \overline{\Im} = \lambda_{max} \overline{\Im}
\end{equation}

Так как малые изменения в $r_{ij}$, $i,j = \overline{1,n}$ вызывают
малое изменение $ \lambda_{max}$, отклонение последнего от $n$
является мерой согласованности. Она может быть выражена с помощью
индекса согласованности (ИС):
\begin{equation}
  \label{math_5}
  \text{ИС } = \frac{(\lambda_{max} - n)}{(n - 1)}
\end{equation}

Если $\text{ИС} \leq 0,1$, то практически считается, что мера согласованности
находится на приемлемом уровне. Индекс согласованности матрицы парных
сравнений, элементы которой сгенерированы случайным образом,
называется случайным индексом (СИ). Ниже представлена таблица
соответствия порядка и среднего значения СИ, определенная на базе 100
случайных выборок  (табл. \ref{tab_3}) \red{[7]}.
\begin{table}[!h]
  \caption{Таблица средних значений СИ}
  \label{tab_3}
  \begin{tabular}{|p{0.20\textwidth}|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    Порядок матрицы & 
    1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 
    6 & 7 & 8 & 9 & 10
    \\ \hline
    СИ & 
    0,00 & 0,00 & 0,58 & 0,9 & 1,12 & 
    1,24 & 1,32 & 1,41 & 1,45 & 1,49
    \\ \hline
  \end{tabular}
\end{table}
Отношение ИС к среднему СИ для матрицы того же порядка называется
отношением согласованности (ОС). Значение ОС меньшее или равное 0,10
считается приемлемым. Обычно ИС и ОС указываются в процентах. Согласно
определению, ИС можно трактовать как отклонение от идеально
проведенного эксперимента  (метода парных сравнений), а ОС указывает,
на сколько оцениваемая степень согласованности сходится со степенью
согласованности самого неидеально проведенного эксперимента. 

Таким образом, МАИ допускает несогласованность (как неотъемлемую часть
метода), признавая, что человеческие суждения находятся в постоянном
процессе изменения  и эволюции (поэтому не следует настаивать на 100\%
согласованности, так как суждения могут измениться после того, как
проблема решена). Но надежные решения  не могут быть приняты без
приемлемого уровня  согласованности.

Для нахождения максимального собственного числа и соответствующего ему
собственного вектора  используется так называемый степенной метод,
основанный на итерационном алгоритме
\begin{equation}
  \label{math_6}
  \lambda_{max} \approx \frac{\Im_i^{(m+1)}}{\Im_i^{(m)}}
\end{equation}
где $\Im_i^{(m)}$ - $i$-ая координата вектора $\overline{\Im^{m}}$; $m$
- номер итерации.

Если принять достаточно большой номер итерации $m$, то можно с любой
точностью получить $\lambda_{max}$. Для нахождения $\lambda_{max}$
можно использовать любую координату вектора $\overline{\Im^{m}}$ и, в
частности, можно взять среднее арифметическое:
\begin{equation}
  \label{math_7}
  \lambda_{max} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \frac{\Im_{i(m+1)}}{\Im_{i(m)}}
\end{equation}

В качестве собственного вектора матрицы, соответствующего
$\lambda_{max}$, принимается нормированный вектор, вычисленный по
рекуррентному выражению:
\begin{equation}
  \label{math_8}
  \overline{\Im}^{m+1} = R \overline{\Im}^{m}
\end{equation}

При $m=0$ $\overline{\Im}^{(0)}$ - произвольный начальный вектор.

\subsubsection{Принцип  синтеза}
Реализация принципа синтеза составляет содержание третьего
этапа. Искомые веса объектов определяются последовательно, начиная со
второго уровня иерархии (рисунок \ref{img_4}) в соответствии с решающим
правилом:
\begin{equation}
  \label{math_9}
  Z_i = \sum_{j \in L_i} \Im_{ij}Z_j,
  \quad \forall i \in V_2, \ldots, i \in V_m
\end{equation}
\begin{figure}[!h]
  \centering
  \includegraphics[angle=270, width=0.4\textwidth]{chapter_3_img_3}
  \caption{Фрагмент иерархии}
  \label{img_4}
\end{figure}

Веса объектов, принадлежащих уровню альтернатив, можно считать как
результат измерения их в шкале отношений в диапазоне [0,1].

Согласованность всей иерархии С определяется по следующему выражению:
\begin{equation}
  \label{math_10}
  C=\frac{\sum_{\forall i \in D}\text{ИС}_iZ_i}{\sum_{\forall i \in D}\text{СИ}_iZ_i}
\end{equation}

где $D = I\ V_m$; $\text{ИС}_i$, $\text{СИ}_i$ – соответственно индекс 
согласованности и случайный индекс таблицы парных сравнений,
рассмотренной относительно $i$-го объекта. 

Приемлемым является значение С меньше или равное 10\%. В противном
случае качество суждений следует улучmшить. Возможно, следует
пересмотреть формулировку вопросов при проведении парных
сравнений. Если это не поможет улучшить согласованность, то, вероятно,
задачу следует более точно структурировать, т.е. вернуться к этапу 1. 

\subsubsection{Общая оценка МАИ как метода принятия решений}
Принятие решений складывается в многодисциплинарную область
исследований, в которой работают психологи, математики, программисты,
экономисты, инженеры. Отметим, что эта многодисциплинарность является
как бы переходным этапом к появлению новой дисциплины, в рамках
которой специалисты будут обладать необходимыми научными знаниями из
приведенных выше дисциплин, а также новыми знаниями по проблемам,
ранее не изучавшимся.

Рассмотрим, насколько удовлетворяет МАИ ряду требований к научному
обоснованию методов принятия решений (см. гл. 3):
\begin{enumerate}
\item В МАИ способы получения информации от ЛПР/эксперта
соответствуют данным когнитивной психологии о возможностях человека
перерабатывать информацию. Действительно, гомогенность и принцип
иерархической декомпозиции приводят в соответствие проблему получения
оценок с психометрическими возможностями человека.
\item В МАИ имеется возможность проверки информации, полученной от
ЛПР/эксперта на непротиворечивость, посредством индекса и отношения
согласованности как для отдельных матриц, так и для всей иерархии.
\item Любые соотношения между вариантами решений в МАИ объяснимы на
основе информации, полученной от ЛПР/экспертов. Так, анализ весов
объектов по нисходящим уровням иерархии позволяет понять, как получено
то или иное значение веса.
\item Математическая правомочность решающего правила в МАИ прозрачна
и базируется на методе собственных значений и принципе иерархической
композиции, имеющих четкое математическое обоснование.
Таким образом, МАИ удовлетворяет четырем основным критериям,
обеспечивающим всестороннюю научную обоснованность метода принятия
решений.
\end{enumerate}


\end{document}
